Les nombres relatifs – Les programmes

27 septembre 2018 0 Par AVeyron

Aujourd’hui, focus sur les programmes et les accompagnements.

Je vous remets les liens : programme du cycle 4 et accompagnement des programmes.

Pour ne pas avoir à citer mes sources à chaque fois, j’ai adopté la convention suivante : ce qui est écrit en vert provient des programmes, ce qui est écrit en bleu des accompagnements de programmes.

Certains vont penser que je commence par la fin, ils n’auront pas forcément tort, cependant la phrase suivante est sans doute pour moi la plus importante, c’est pourquoi je la mets tout de suite 🙂

Enfin, l’apprentissage du calcul sur ces nombres ne saurait se confiner à l’application de règles formelles imposées d’emblée à l’élève sans aucune justification.

FAUT-IL METTRE DU SENS AUX APPRENTISSAGES ? OUI, TOUJOURS, TOUJOURS, TOUJOURS.

Cap maintenant sur les objectifs :

L’introduction au cycle 4 des nombres décimaux relatifs visent plusieurs objectifs :

étendre l’ensemble des décimaux positifs à un ensemble plus vaste (celui des décimaux positifs et négatifs), dans lequel toutes les soustractions sont possibles.

Cette extension est réalisée de manière à maintenir les propriétés des opérations valables entre nombres décimaux positifs (principe de permanence);
accorder le statut de nombres (en tant qu’objets mathématiques sur lesquels on peut effectuer des opérations et des comparaisons) à des réalités de la vie quotidienne situées «au-dessous de zéro» (températures, profondeurs, dettes, etc.);
disposer de ces nouveaux outils pour modéliser et résoudre des problèmes de la vie courante;
étendre à la droite entière la graduation déjà connue de la demi-droite, repérer et se repérer sur une droite.

Dans les programmes, on trouve les repères de progressivité :

Les élèves rencontrent dès le début du cycle 4 le nombre relatif qui rend possible toutes les soustractions. Ils généralisent l’addition et la soustraction dans ce nouveau cadre et rencontrent la notion d’opposé. Puis ils passent au produit et au quotient.

Un avertissement met tout de suite à l’aise : 😎

« Aucun mode d’introduction des nombres négatifs ne peut, à lui seul, permettre l’atteinte de tous les objectifs visés et il y aura nécessairement des obstacles à franchir (par exemple les différents statuts du signe «moins»). Il importe toutefois que l’élève soit capable, en fin de cycle, d’appréhender un nombre négatif comme élément d’un nouvel ensemble de nombres, structuré par des opérations qui prolongent celles des décimaux positifs. »

En clair, la chose n’est pas simple … 🙁

Soyez courageux, ne vous voilez pas la face, voici certaines difficultés didactiques à prévoir :

L’introduction de l’addition de relatifs par un des deux modèles possibles « gain-perte » ou « déplacement » présente un inconvénient : certains élèves auront du mal à s’affranchir du contexte d’introduction des nombres, car les modèles imposent une image mentale persistante. (extrait des accompagnements des programmes, phrase adaptée)

La variété des contextes utilisés évitera que la prégnance d’un modèle empêche la construction du statut de nombre.

Une pratique routinière, notamment sous forme de calcul mental, d’additions entre nombres relatifs permettra l’automatisation progressive de la règle d’addition, sans qu’il soit nécessaire de la formaliser. L’élève pourra alors s’affranchir du recours à un modèle concret ou à la droite graduée.

La multiplication des décimaux relatifs pourra être approchée … une fois que la compréhension et l’utilisation de l’addition et de la soustraction aura été stabilisée.

Enfin, certaines difficultés n’ont pas été relevées par les documents officiels, je me permets de les rajouter :

L’introduction purement mathématique des nombres négatifs proposée par les accompagnements me semble pas facile :

L’équivalence des programmes de calcul «ajouter 3 puis soustraire 5», «ajouter 2 puis soustraire 4», «ajouter 1 puis soustraire + 3», «ajouter 0 puis soustraire 2» permet d’écrire : 3−5 = 2−4 = 1−3 = 0 − 2.On convient alors de coder par (−2)le résultat commun à toutes ces soustractions (et à beaucoup d’autres encore…).

Ceci pour trois raisons :

Cette présentation n’est pas forcément adaptée aux capacités d’abstraction de certains élèves de cinquième.
Pour certains cela peut paraître comme un jeu de l’esprit dépourvu de sens et donc d’intérêt.
Les relations d’équivalence ne sont pas une notion mathématique simple, je trouve qu’à chaque fois qu’on y fait appel, on tombe sur une difficulté : « Mais madame c’est lequel le vrai (-2) ? » comme autrefois « Mais madame, c’est lequel le vecteur u ? »

Si le classement des nombres relatifs ne pose pas de difficulté particulière lorsqu’ils sont exprimés sous forme chiffrée…

Pour ma part, je pense que le classement des nombres relatifs sous forme chiffrée pose problème et mérite une attention particulière :

L’ordre entre -7,1 et -7,2 n’est pas évident pour tous les élèves de cinquième.
Si j’ai gagné 200 points et que j’ai perdu 300 points, j’ai plus perdu que gagné donc -300>200 (raisonnement basé sur la comparaison des valeurs absolues).

La simplification des calculs :

Les accompagnements de programmes concluent un peu vite à mon sens que lorsque les règles d’addition et de soustraction de relatifs ont été posées, les élèves ont les moyens de simplifier les calculs.
Pour ma part, je trouve important de consacrer du temps aux sommes algébriques.

Conclusion :

Les objectifs en cinquième :

L’introduction des nombres relatifs
Le repérage sur la droite graduée
Les additions et les soustractions de nombres relatifs
Le calcul des sommes algébriques

Plus tard

La multiplication une fois vérifié que les additions et soustractions sont bien stabilisées.
La suite …

Les difficultés :

La double utilisation de ces nombres : dans un contexte de repérage ou dans un contexte de mesure.
La double signification du signe « moins ».
Le choix du contexte d’introduction de l’addition et de la soustraction, sachant qu’aucun n’est parfait.
La nécessité de décontextualiser l’addition et la soustraction et d’automatiser les calculs.

Je vous sens plein d’entrain tout d’un coup. 🙂

La prochaine fois, je vous présente ma progression.

Si mon article n’était pas clair, si vous avez besoin de précisions, si j’ai oublié quelque chose, si vous n’êtes pas d’accord, laissez un commentaire !!

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