Introduction des nombres relatifs

Ce qui est déjà là :

Les élèves de cinquième ont déjà rencontré des nombres relatifs à de multiples occasions : sur le thermomètre, dans l’ascenseur, quelquefois en cours d’histoire. Certains savent depuis longtemps que 4-9 = -5 . Peut-on, dans ces conditions, parler d’introduction des nombres relatifs, ? A mon sens, non.

Mais il est important de faire le point sur les connaissances des élèves et de les structurer. C’est pourquoi j’ai l’habitude d’aborder ce chapitre en posant cette question :

Existe-t-il des nombres plus petits que 0 ?

Gestion pratique :

Je pose cette question par écrit, en insistant pour que le travail soit vraiment individuel un quart d’heure avant la fin d’un cours, juste avant d’aborder le chapitre. Il est important que tous les élèves aient le temps de réfléchir à la question. Je ramasse les productions afin de les analyser et de les classer à la maison. L’heure suivante, nous discutons des représentations.

Les types de productions d’élèves :

Elles se repartissent toujours à peu près de la même façon chaque année :

• Quelques élèves (très peu) répondent non : on ne peut pas compter en dessous de zéro.
• Pour à peu près la moitié des élèves la question est « Est-ce qu’un nombre non nul à partie entière nulle (par exemple 0,02) est plus petit que 0? » C’est pour ces élèves que le temps de réflexion est le plus long. La moitié d’entre eux finiront par conclure « oui, 0,02 par exemple est plus petit que 0 », l’autre moitié par « non, 0,02 c’est pas beaucoup mais c’est quand même un petit quelque chose. » La feuille de ces élèves avec ratures et surcharges témoigne souvent de l’intensité de leur débat interne.
• Un gros quart des élèves va répondre « oui » avec une référence au thermomètre, à l’ascenseur ou à la frise chronologique, ou bien sans référence externe « oui par exemple -1 ; -2; … »
• Quelques élèves, peu nombreux vont faire référence aux opérations : « oui, 4-9 = -5 ».

L’analyse en classe des productions :

Je projette en classe les productions les plus représentatives après les avoir recopiées pour l’anonymat. Je préviens les élèves qu’il s’agit de discuter de la réponse qui est au tableau et pas de donner une réponse à la question posée l’heure précédente.

Voici l’ordre d’exposition :

1. « Non, on ne peut pas compter en dessous de zéro. »
   La discussion montre que l’affirmation est vraie si on comprend compter comme dénombrer. J’interroge alors sur le contexte d’usage des nombres.
   On en arrive alors à la conclusion « Pour compter, on se sert des nombres entiers : 1, 2, 3 ». Dans ce contexte il n’y a pas de nombre plus petit que 0, pas de décimal non plus et pas de 0…
2.  « 0,02 est plus petit que 0 » Après discussion on arrive à 0,02 c’est deux centièmes, donc c’est plus grand que 0. On réfléchi aussi au contexte d’usage : cela peut être la mesure d’une longueur ou d’une masse. « Pour mesurer, on se sert des nombres décimaux ».
3.  Je présente le travail d’un ou deux élèves qui sont parvenus à la conclusion « non, un nombre du type 0,02 n’est pas plus petit que 0 ». Ce, parce que je pense qu’il est important que ceux qui sont en train de comprendre que 0,02 >0, puissent le verbaliser à ce moment.
4.  Je présente ensuite les travaux avec référence au thermomètre ou autre. En règle générale, l’évidence saute aux yeux. On discute du contexte d’usage de ces nombres, et on arrive à la conclusion « Pour se repérer, on se sert des nombres relatifs. » Ils sont utiles quand on a besoin de se repérer sur une droite dans les deux sens.
5. Je présente ensuite un travail sans référence concrète : « oui par exemple -1 ; -2; … »
6. Je termine par les travaux montrant des opérations sans beaucoup insister mais cela permet d’étendre l’usage des relatifs : on va sans doute pouvoir se servir de ces nombres pour autre chose que du repérage.

La difficulté pédagogique de cette séance :

Attention au temps. Il faut bien choisir les productions, il faut qu’elles sont en nombre suffisant mais que la discussion ne s’éternise pas au-delà de 20 minutes. Je pense qu’il est important d’aller jusqu’au point 6, quitte à passer rapidement sur certains points et d’y revenir ensuite.

A la fin de la séance :

• Les représentations préexistantes des nombres relatifs chez les élèves ont été conscientisée et enrichies par les apports de chacun.
• La réflexion sur les nombres du type 0,02 a permis à certains de placer définitivement ces nombres par rapport à 0 et au professeur à repérer les élèves pour qui le problème se pose encore.
• Les ensembles de nombres ont été étendus et placés dans des contextes d’usages.
• Les deux contextes d’usages des nombres relatifs ont été énoncés : le repérage d’une part, les opérations d’autre part.

Pour la période qui suit, les objectifs sont :

• Développer les compétences en matière de repérage.
• Préparer le travail sur les opérations.

Ceci fera l’objet du prochain article.