Seconde

Ecritures fractionnaires

Dans tout ce chapitre, les écritures fractionnaires attendues sont toujours des écritures où le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers.

Simplification de fractions

Une petite mise au point : on ne simplifie pas la valeur d'une fraction mais son écriture.

\[\dfrac{11364870}{17047305}=\dfrac{2\times 5682435}{3\times 5682435}=\dfrac{2}{3}\] Pourquoi simplifier une fraction ? Peut-être pour avoir une écriture plus lisible, non ?

Propriété :

On ne change pas la valeur d'une fraction en multipliant ou en divisant son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

Méthode:

Cherche un diviseur commun au numérateur et au dénominateur de la fraction.
Simplifie !

Prends ton cahier d'exercices et entraîne toi avec les exemples ci-dessous.

Exercice 1 Correction

Simplifie \[\dfrac{16}{14}\]

14 et 16 sont deux nombres pairs, donc 2 est un diviseur commun \[\dfrac{16}{14} = \dfrac{16\div 2}{14\div 2}=\dfrac{8}{7}\] Autre rédaction : \[\dfrac{16}{14} = \dfrac{8\times 2}{7\times 2}=\dfrac{8}{7}\]

Exercice 2 Correction

Simplifie \[\dfrac{15}{40}\]

15 et 40 se terminent par 5 ou 10, donc 5 est un diviseur commun \[\dfrac{15}{40} = \dfrac{15\div 5}{40\div 5}=\dfrac{3}{8}\] Autre rédaction : \[\dfrac{15}{40} = \dfrac{3\times 5}{8\times 5}=\dfrac{3}{8}\]

Exercice 3 Correction

Simplifie \[\dfrac{24}{15}\]

24 et 15 sont dans la table de 3, donc 3 est un diviseur commun \[\dfrac{24}{15} = \dfrac{24\div 3}{15\div 3}=\dfrac{8}{5}\] Autre rédaction : \[\dfrac{24}{15} = \dfrac{8\times 3}{5\times 3}=\dfrac{8}{5}\]

Exercice 4 Correction

Simplifie \[\dfrac{63}{99}\]

6+3 = 9 qui est divisible par 9, donc 63 est divisible par 9
9+9 = 18 qui est divisible par 9, donc 99 est divisible par 9
donc 9 est un diviseur commun \[\dfrac{63}{99} = \dfrac{63\div 9}{99\div 9}=\dfrac{7}{11}\] Autre rédaction : \[\dfrac{63}{99} = \dfrac{7\times 9}{11\times 9}=\dfrac{7}{11}\] Tu ne te rappelais plus du critère de divisibilité par 9 ? Dépêche toi de le rechercher sur internet et de le noter au fond du cahier de cours sur une page spéciale "Critères de divisibilité."

Exercice 5 Correction

Simplifie \[\dfrac{81}{54}\]

8+1 = 9 qui est divisible par 9, donc 81 est divisible par 9
5+4 = 9 qui est divisible par 9, donc 54 est divisible par 9
donc 9 est un diviseur commun \[\dfrac{81}{54} = \dfrac{9\times 9}{6\times 9}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3\times 3}{2\times 3}=\dfrac{3}{2}\] Pourquoi n'y a-t-il plus qu'une rédaction ? Parce que c'est la plus efficace pour plus tard. Dès que tu te sens à l'aise, rédige tes calculs avec des multiplications plutôt qu'avec des divisions.

Exercice 6 Correction

Simplifie \[\dfrac{35}{42}\]

35 et 42 sont dans la table du 7, donc 7 est un diviseur commun \[\dfrac{35}{42} = \dfrac{5\times 7}{6\times 7}=\dfrac{5}{6}\]

Exercice 7 Correction

Simplifie \[\dfrac{12}{18}\]

12 et 18 sont dans la table du 6, donc 6 est un diviseur commun \[\dfrac{12}{18} = \dfrac{2\times 6}{3\times 6}=\dfrac{2}{3}\]

Multiplications de fractions

Méthode:

Pour obtenir l'écriture fractionnaire du produit de deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Prends ton cahier d'exercices et entraîne toi avec les exemples ci-dessous.

Exercice 1 Correction

Calcule et donne un résultat simplifié \[\dfrac{2}{3}\times\dfrac{5}{7}\]

\[\dfrac{2}{3}\times\dfrac{5}{7}=\dfrac{2\times 5}{3\times 7}=\dfrac{10}{21}\]

Exercice 2 Correction

Calcule et donne un résultat simplifié \[\dfrac{2}{3}\times\dfrac{21}{4}\]

\[\dfrac{2}{3}\times\dfrac{21}{4}=\dfrac{2\times 21}{3\times 4}=\dfrac{42}{12}=\dfrac{7\times 6}{2\times 6}=\dfrac{7}{2}\] Autre rédaction : \[\dfrac{2}{3}\times\dfrac{21}{4}=\dfrac{2\times 21}{3\times 4}=\dfrac{2\times 3\times 7}{3\times 2\times 2}=\dfrac{7}{2}\] Décomposer les nombres en facteurs premiers permet de ne faire que les multiplications nécessaires pour obtenir la forme simplifiée. On gagne du temps et on fait moins d'erreurs de calcul.

Exercice 3 Correction

Calcule et donne un résultat simplifié \[\dfrac{4}{9}\times\dfrac{3}{16}\]

\[\dfrac{4}{9}\times\dfrac{3}{16}=\dfrac{4\times 3}{9\times 16}=\dfrac{12}{144}=\dfrac{1\times 12}{12\times 12}=\dfrac{1}{12}\] Autre rédaction : \[\dfrac{4}{9}\times\dfrac{3}{16}=\dfrac{4\times 3}{9\times 16}=\dfrac{4\times 3}{3\times 3\times 4\times 4}\] Et c'est là qu'il est utile de se rappeler que : " multiplier par rien, c'est multiplier par 1", on peut donc écrire le numérateur sous la forme \(4\times 3\times 1\) et terminer la simplification : \[\dfrac{4}{9}\times\dfrac{3}{16}=\dfrac{4\times 3\times 1}{3\times 3\times 4\times 4}= \dfrac{1}{3\times 4}=\dfrac{1}{12}\]

Exercice 4 Correction

Calcule et donne un résultat simplifié \[\dfrac{15}{28}\times\dfrac{6}{45}\]

\[\dfrac{15}{28}\times\dfrac{6}{45}=\dfrac{15\times 6}{28 \times 45}=\dfrac{15\times 2\times 3 \times 1}{14\times 2 \times 15\times 3}=\dfrac{1}{14}\] Pourquoi la première rédaction a disparue ? Parce que c'est un nid à problèmes : d'abord car on multiplie de grands nombres et ce n'est pas toujours facile à faire de tête, ensuite parce que de toute façon, il faut simplifier après.
Donc si tu es à l'aise, décompose tes nombres et effectue le minimum de multiplications.

Exercice 5 Correction

Calcule et donne un résultat simplifié \[\dfrac{28}{3}\times\dfrac{15}{7}\]

\[\dfrac{28}{3}\times\dfrac{15}{7}=\dfrac{28\times 15}{3\times 7}=\dfrac{4\times 7 \times 5\times 3}{3\times 7\times 1}=20\] Mais où est passé le dénominateur ? Tout se simplifie, donc il ne reste que 1 au dénominateur, et diviser par 1, c'est ne rien faire : \(\dfrac{20}{1}=20\)
Une fraction de dénominateur 1 est un nombre entier, donc on l'écrit comme un nombre entier.

Diviser par une fraction

Définition :

L'inverse d'un nombre \(a \) est le nombre qui multiplié par \(a \) donne 1.

Propriété :

0 n'a pas d'inverse.
1 est son propre inverse.
Si \(a \) est différent de 0, l'inverse de \(a \) est \(\dfrac{1}{a} \)
Si \(a \) et \(b \) sont différents de 0, l'inverse de \(\dfrac{a}{b} \) est \(\dfrac{b}{a} \)

Propriété :

Diviser par un nombre, c'est multiplier par son inverse.

C'est cette propriété qui nous permet de trouver l'écriture fractionnaire cherchée, en se ramenant à une multiplication.

Méthode:

Pour obtenir l'écriture fractionnaire du quotient d'un nombre par une fraction \(\dfrac{a}{b}\):

On cherche l'inverse de la fraction : \(\dfrac{b}{a}\)
On multiplie par ce nombre.

Prends ton cahier d'exercices et entraîne toi avec les exemples ci-dessous.

Exercice 1 Correction

Calcule et donne un résultat simplifié \[\dfrac{2}{3}\div\dfrac{5}{7}\]

\[\dfrac{2}{3}\div\dfrac{5}{7}=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{7}{5}=\dfrac{2\times 7}{3\times 5}=\dfrac{14}{15}\]

Exercice 2 Correction

Calcule et donne un résultat simplifié \[2\div \dfrac{11}{4}\]

\[2\div \dfrac{11}{4}=2\times \dfrac{4}{11}=\dfrac{2\times 4}{11}=\dfrac{8}{11}\]

Exercice 3 Correction

Calcule et donne un résultat simplifié \[\dfrac{4}{9}\div\dfrac{6}{15}\]

\[\dfrac{4}{9}\div\dfrac{6}{15}=\dfrac{4}{9}\times\dfrac{15}{6}=\dfrac{4\times 15}{9\times 6}=\dfrac{60}{54}=\dfrac{10\times 6}{9\times 6}=\dfrac{10}{9}\] Autre rédaction : \[\dfrac{4}{9}\div\dfrac{6}{15}=\dfrac{4}{9}\times\dfrac{15}{6}=\dfrac{4\times 15}{9\times 6}= \dfrac{2\times 2\times 3\times 5}{3\times 3\times 2\times 3}=\dfrac{2\times 5}{3\times3}=\dfrac{10}{9}\]

Exercice 4 Correction

Calcule et donne un résultat simplifié \[\dfrac{45}{7}\div 15\]

Et oui 15 est un nombre fractionnaire, on peut l'écrire \( \dfrac{15}{1} \), son inverse est \( \dfrac{1}{15} \)

\[\dfrac{45}{7}\div 15=\dfrac{45}{7}\times \dfrac{1}{15}= \dfrac{45}{7\times 15}=\dfrac{3\times 15}{7\times 15}=\dfrac{3}{7}\]

Exercice 5 Correction

Calcule et donne un résultat simplifié \[\dfrac{14}{15}\div \dfrac{7}{30}\]

\[\dfrac{14}{15}\div \dfrac{7}{30}=\dfrac{14}{15}\times \dfrac{30}{7}=\dfrac{14\times 30}{15\times 7}=\dfrac{2\times 7 \times 2\times 15} {7\times 15 \times 1}=4\] Mais où est passé le dénominateur ? Tout se simplifie, donc il ne reste que 1 au dénominateur, et diviser par 1, c'est ne rien faire : \(\dfrac{4}{1}=4\).
Une fraction de dénominateur 1 est un nombre entier, donc on l'écrit comme un nombre entier.

Trigonométrie

Leçon de troisième : trigonométrie.

Vidéo 1: comment nommer les côtés.

Comment déterminer quel côté est l'hypoténuse d'un triangle rectangle, le côté adjacent, le côté opposé à un angle aigu.